浅谈，在理论上倍投是不是一定赚？

倍投只存在于理论中，只有在赌资、赌注、时间无限的情况下有意义，三个要素只要有一个不满足就是无意义的，显然，现实世界中这三个条件中任意一个都不能被满足。赌博是反直觉的，倍投也是反直觉的，倍投其实并不会让你赚更多，但是同样的，也不会让你亏更多。

概率很大，但是期望仍然是负的

单纯的概率是没有意义的，赌博是为了赢钱，必须加上收益期望才有意义。
拿抛硬币为例，胜率½，玩6轮，从1开始投注。学过小学数学的人会知道，连输6场的概率是1/64，也就是1.5625%。在倍投法中，只要赢一次就能获得收益，因此获得收益的概率为1-1/64，约为98.4375%。看上去是稳赚的，但是这没有意义，因为期望仍然是非正数。
在上面这个简单例子中，假如你赢了一次就跑，你有1/64的几率输掉63元，然后有63/64的几率赚1元。计算期望为1×63/64-63×1/64，结果为0元。
如果你赢了不停，继续下注1元，结果相同。这个也是反直觉的，并不会像赌客所想的那样赢更多，也不会像普通人那样见好不收会亏更多。公式证明有点麻烦，出于篇幅问题，借用一张图片，把规模缩小到3轮，这是轮盘赌红蓝球用倍投法的排列组合。把最右边的期望加起来，其实还是0。

*天鹅其实很常见

倍投基于一个假设，连输的概率很低，但是只要赢一次就能翻本。因此在交替输赢的局面下，倍投可以有较稳定的收益，直到遇到连输才会爆仓离场。但是连输的概率在多轮赌局后，就会非常大。这个很反直觉，但是确实是这样的。比如在上面的抛硬币赌局里，6场里连输6场概率是1.5625%，这个很容易计算出来。但是如果继续玩下去，玩10场、100场、200场呢？通过程序计算排列组合以及随机模拟，可以得出以下结果。代码在最后边。
为了让结果更有趣味性，我还加了记录模拟过程中出现过的最大连输数，这个最大连输次数主要和模拟次数有关。由于计算排列组合的时间复杂度是按指数增加的，超过20局以上就会耗时非常长，因此后续没有列出。

胜率为0.50，10000000次数模拟中，
每6次赌局中平均至少出现一次连输6次发生概率：1.56%，出现过的最多次连输：6次
胜率为0.5，通过排列组合，
每6次赌局中平均至少出现一次连输6次发生概率：1/64，1.56%
胜率为0.50，10000000次数模拟中，
每10次赌局中平均至少出现一次连输6次发生概率：4.68%，出现过的最多次连输：10次
胜率为0.5，通过排列组合，
每10次赌局中平均至少出现一次连输6次发生概率：48/1024，4.69%
胜率为0.50，10000000次数模拟中，
每50次赌局中平均至少出现一次连输6次发生概率：31.41%，出现过的最多次连输：28次
胜率为0.50，10000000次数模拟中，
每100次赌局中平均至少出现一次连输6次发生概率：54.47%，出现过的最多次连输：29次
胜率为0.50，10000000次数模拟中，
每200次赌局中平均至少出现一次连输6次发生概率：79.93%，出现过的最多次连输：31次
胜率为0.50，10000000次数模拟中，
每1000次赌局中平均至少出现一次连输6次发生概率：99.97%，出现过的最多次连输：32次

总结

赌博中使用倍投的期望只取决于赌局胜率，也就是说倍投并不能改变任何期望。
不过有些问题仍然萦绕不去。在较短期的赌局中，拥有较大的赌资和较小的赌注，确实可以使得胜率非常高，即使此时期望仍然为非正数。比如上面的例子，有98.4375%的几率赢1元，仅有1.5625%的几率输掉63元。总体胜率如此之高，这很让人迷惑，如何说服我不使用倍投？
在某种程度上，这确实呈现出一种悖论，其中期望为非正数是事实，而总体胜率却异常高。这种情况令人容易受到短期内高胜率的吸引。因此，很多网站提到的“在短期内，使用倍投法以小博大是有意义的”也有其合理之处。不过根据上面的计算我们知道，这个悖论不会持续太久，只要时间久一点，*天鹅就很容易遇见。